Consultorio de Matemáticas (Bonus: Química y Física)

[Godah]

Muchas gracias, Will. O sea que lo de "elevar" a positivo o negativo es una forma de abstraer el número hipotética e inmediatamente anterior o posterior a 1,¿no? Es que en la forma de poner 0.99 y 1.1 me había liado. Básicamente, como trabajamos con infinitos, precisamos barajar números abstractos, por así decirlos... De todos modos, a modo de curiosidad, 1^+ sigue siendo un número natural, ¿no?

[will-o-the-wisp]

En la teoría no sé cómo explicar qué son, pero 1- y 1+ no son realmente números, son límites de un número cuando nos acercamos por un lado o por otro. En la práctica estamos hallando el límite en x=1, pero acercándonos por un lado o por otro, luego realmente es una notación. Si los entendemos como restar o sumar una cantidad muy pequeña (infinitesimal) al número, entonces ya no son naturales. Pero yo los entiendo más bien como que siguen siendo 1 (en este caso sí serían naturales). De todas formas, no se utilizan fuera del ámbito de los límites, así que tampoco tiene sentido clasificarlos según la teoría de conjuntos.

Digamos que en este caso, la función pega un salto tan grande al llegar a x=1 (salto infinito, de menos infinito a más infinito), que esos dos "puntos" límites alrededor de 1 son importantes. Si estuviéramos hallando el límite de una función en un punto donde no está definida y los límites laterales coincidieran, entonces podríamos decir que existe el límite en ese punto y realizar una extensión analítica de la función dándole un valor en ese punto.

[Godah]

Ataco de nuevo después de un tiempo. Veréis, ahora toca el tema de permutaciones. Son generalmente fáciles y rápidas de realizar, pero hay algunos problemas que me suscitan dudas igualmente.

Un enunciado dice que un estudiante se presenta a un examen de Biología. Hay 25 temas, se ha estudiado 15. Si en el examen sale un solo tema de 20, ¿cuál es la probabilidad de que se sepa el tema?

P= 15/25 -> 3/5

Ningún problema. Seguimos, ahora dice que si en el examen salen DOS temas al azar...

Probabilidad de que se haya estudiado los dos temas.

P= 15/25 * 14/24= 3/5 * 7/12= 21/60= 7/20

Aquí empiezan mis confusiones. Entiendo que en una permutación sin repetición (cada tema no se repite) cogemos el número m (temas=25) y calculamos su factorial dividido entre m-n. ¿O no era así? Aquí me empiezo a liar.

En el siguiente apartado, pregunta cuál es la probabilidad de que haya estudiado UNO de los dos temas. La probabilidad es mayor, eso está claro, pero sigo sin comprender este procedimiento:

15/25 * 10/24 + 10/25 * 15/24= 3/5 * 5/12 + 2/5 * 5/8= 1/4 + 1/4= 1/2

Una ayudita, por favor...

[will-o-the-wisp]

Tenía unos resúmenes buenísimos sobre combinatoria que me hice para el examen del año pasado, pero no los encuentro por ningún lado. Ahora mismo me tengo que ir a clase, pero te contesto cuando pueda

[Pappapishu]

P= 15/25 * 14/24= 3/5 * 7/12= 21/60= 7/20

Ahora estoy en el curro así que no me puedo extender mucho, pero de momento te explico esto y si me da tiempo, edito luego.

Esta no es una pregunta de combinatoria, no combinas 15 temas ni calculas cuántas combinaciones posibles hay, si no que buscas la probabilidad de que un tema en concreto caiga, por tanto es una pregunta de probabilidad.

Como tu has indicado, que el primer tema se lo sepa tiene un 15/25 posibilidades. Al haber salido ya un tema, él se sabe 14 de los 24 restantes y, por tanto, esa es la probabilidad de que se sepa el segundo. Multiplicas ambas probabilidades, tienes la respuesta que buscas.

El mismo argumento sirve para tu segunda duda:

15/25 * 10/24 + 10/25 * 15/24= 3/5 * 5/12 + 2/5 * 5/8= 1/4 + 1/4= 1/2

Que se sepa uno, implica que no se sepa el otro por tanto esa ecuación muestra:

Se sabe 1 (15/25) y no 2 (10/24 ya que un tema ya ha salido) + No se sabe 1 (10/25) y si 2 (15/24)

[will-o-the-wisp]

Exacto, la pregunta era sobre probabilidad y no sobre combinatoria. Pappapishu lo ha explicado bastante bien, pero si tienes alguna duda más, pregunta sin problemas.

Voy a poner el resumen que me hice sobre combinatoria por si te sirve para hacer algún otro ejercicio o resolver dudas que tuvieras.

Importa el orden

• Variaciones
  
  • Variaciones de m elementos tomados de n en n sin repetición.
    [center][/center]
    
  • Variaciones de m elementos tomados de n en n con repetición.
    [center][/center]
  
  
• Permutaciones
  Son variaciones en las que se cumple que m=n.
  
  • Sin repetición.
    [center][/center]
    
  • Cada elemento se repite n_i veces, con y .
    [center][/center]

No importa el orden

• Combinaciones
  
  • Combinaciones de m elementos tomados de n en n sin repetición.
    [center][/center]
    
  • Combinaciones de m elementos tomados de n en n con repetición.
    [center][/center]

Estas no creo que las uses nunca (sobre todo se usan para física cuántica y física estadística), pero por si acaso algún día te piden que metas bolas en cajas distinguibles:

• Bose-Einstein
  n elementos indistinguibles tomados en m conjuntos g_i distinguibles sin un máximo de elementos por conjunto (también pueden estar vacíos).
  [center][/center]
  
• Fermi-Dirac
  n elementos indistinguibles tomados en m conjuntos g_i distinguibles con un máximo de un elemento por conjunto (también pueden estar vacíos).
  [center][/center]
  
• Maxwell-Boltzmann
  n elementos distinguibles tomados en m conjuntos g_i distinguibles.
  [center][/center]

[Minerva]

Hola chicos,

Hace eones que no entro en el foro, pero espero poder recuperar pronto algo de tiempo.

Mientras sigo con ejercicios matemáticos (¡cómo no!), así que os estaré preguntando algunas dudas como siempre , y animando un poco el tema.

Hoy me han salido con esto:



Me piden la inversa. Bien, la calculo y hago lo siguiente:



Y a partir de aquí ya no sé cómo seguir para conseguir este resultado:



¿Alguna idea pls?

Mil thanks, as always

[will-o-the-wisp]

Me piden la inversa. Bien, la calculo y hago lo siguiente:

Hasta aquí, esta función es la misma, solo que has cambiado las cosas de sitio en la ecuación.

En realidad la forma de obtener la función inversa es cambiar la variable y por la variable x:

Si teníamos , debemos buscar la función

Vamos a cambiar el papel de las variables:

[center][/center]

Esta es otra función diferente a la anterior. Operando sobre ella queremos obtener otra vez y(x) (aunque ya no será la misma y que antes, sino que será la función inversa a la que deberemos llamar de otra forma):

[center]

[/center]

Si a la función que nos han dado la llamamos:

[center][/center]

Y a la que hemos obtenido le damos el nombre:

[center][/center]

g(x) es la función inversa de f(x). Por ello tenemos que:

[center][/center]

Es decir, que si en la función original sustituyéramos cada x por nuestra solución (g), después de muchos cálculos saldría x.

Resumiendo, el método general para encontrar una función inversa es:
1. Reemplazar x por y y viceversa en la función original para obtener x en función de y.
2. Operar hasta obtener y en función de x.
3. Nombrar de modo distinto cada función (la original y la que hemos obtenido, su inversa).

[Minerva]

Muchas gracias will'o.

Lo único que no entiendo es el segundo paso, ¿por qué sumas 2/y-1?, ¿es alguna norma o solo se añade para despejar?

Como nosotros lo aprendemos de forma muy básica, el profesor nos enseña las normas para despejar inversas y después nosotros las aplicamos a los ejercicios.

Por ejemplo y respecto a cambiar la x por y y viceversa, él nos dijo que lo hiciéramos al final, cuando ya hubiéramos obtenido la inversa.

[will-o-the-wisp]

Es que he separado la fracción para poder sacar un 1.

y+1=y-1+2, ¿verdad? Separando las fracciones (podemos porque tienen el mismo denominador), nos queda como en el paso 2 (y lo he hecho así porque la primera se simplifica). Esto ha sido para que solo nos quede la y en un lado (numerador o denominador), pero no en los dos.

Lo que has hecho tú no ha sido sacar la inversa. Cambiar x por y es el mecanismo para sacar la función inversa (que cumple las propiedades blablabla). Lo que te ha dicho tu profesor que hagas es que apliques la función inversa de la exponencial (el logaritmo) para despejar la x, ya que luego habrá que despejarla de todos modos (como y) y quizá hacerlo después es más complicado. Hallar la inversa es lo último de todo, nuestro objetivo.

Perdona que no ponga ecuaciones en plan bien, pero estoy escribiendo desde el móvil ó_ò