Consultorio de Matemáticas (Bonus: Química y Física)

[Minerva]

Gracias Papp, así es mucho más claro. No sé por qué en el libro no pueden poner las cosas tan claras...

[will-o-the-wisp]

Es lo que te ha comentado Papp, pero voy a intentar ponerlo un poco más generalizado y con un ejemplo. Para el determinante de una matriz de dimensión mayor que 3 (aunque en realidad vale para cualquier dimensión), se escoge una fila o columna y se multiplica cada número de ella por el determinante de sus adjuntos. Si el número está en un sitio impar en la fila o columna, su término se suma, y si está en un sitio impar, se resta.

La matriz adjunta de una componente de la matriz es la que resulta al tachar la fila y la columna donde está ese término (siempre de una dimensión menor que la original).

Dimensión 2: Aquí escogeríamos la primera columna. Como c está en un sitio par (segundo lugar), su término se resta. En este caso, la matriz adjunta de cada número es otro número.
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Se comprueba que es la misma fórmula de siempre, una diagonal menos la otra.
Ejemplo:
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Dimensión 3: Escogemos la primera columna. d está en un sitio par y su término se resta, pero a y g están en sitios impares y sus términos se suman.
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Que se convierte en la fórmula de siempre, suma de diagonales en un sentido menos las diagonales en el otro.
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Ejemplo:
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Sí, el determinante de las teclas del móvil es 0.

A partir de aquí deja de funcionar la regla de las diagonales, así que no nos queda otra que seguir el método que he dicho y he estado aplicando en los casos anteriores.

Dimensión 4:
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(Nos podríamos quedar aquí, ya que el cálculo del determinante 3x3 ya es automático, pero se podría continuar).

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Ejemplo: Pongo la matriz que has puesto.
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De esta forma, para calcular el determinante de una matriz 4x4 hay que calcular 4 determinantes de 3x3. Si la matriz fuera de 5x5, habría que calcular 5 determinantes de 4x4, es decir, 20 determinantes de 3x3.

[Minerva]

Muchas gracias will'o, voy a probarlo (estoy ahora haciendo de nuevo los ejercicios), y a ver qué tal me va.

Respecto a la suma y resta de los números, según su posición en la matriz, creo que cuando están en posición par se suma (por ejemplo 1x1, fila 1 columna 1), y cuando es impar se resta (por ejemplo 2x3, fila 2 columna 3).

Y ahora estoy un poco alucinada con lo que os voy a poner. Una profesora (supongo que por error) dio dos resultados distintos al calcular la inversa de una matriz, cosa que creo que no puede pasar. Lo calculó por el método de los adjuntos, y por el método de Gauss (aun tengo que practicarlo porque no me sale).

Método de los adjuntos (me sale lo mismo):

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Método de Gauss:

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Parece que la diferencia está en que el numerador de la última fila, con el método de los adjuntos, es el doble que en el método de Gauss.

¿Cuál de los dos está bien?, como comento, el resultado que me sale a mí es el que aparece en el método de los adjuntos.

EDIT: acabo de calcular la inversa de otra matriz distina, también de 3x3 y por el método de los adjuntos, y mi respuesta coincide con la dada. ¿Es posible que en la que he puesto, la respuesta del método de Gauss esté mal?

[will-o-the-wisp]

Ambas respuestas están bien. Si a la que sale por el método de Gauss le sacas el factor común 1/68 queda la que se ha obtenido por el método de los adjuntos (fíjate que en la última fila son distintos numerador y denominador, que es la mitad de 68, es decir, al sacarlo se multiplicaría por 2 el numerador).

Edito y me explico un poco mejor. Si a la última fila le multiplicas 2/2 te queda -14/68, 18/68, 2/68 y dejas invariante la matriz, ya que en realidad lo has multiplicado por 1 (has multiplicado y dividido por lo mismo). Una vez hecho eso, puedes sacar 1/68 de la matriz y te queda la esperada.

[Minerva]

Qué cabeza, tienes razón, me obsesioné en mirar que los numeradores fueran iguales sin darme cuenta que se había sacado factor común...

Respecto a los signos, en este libro nos indican que si la posición es 1+1 (fila 1, columna 1) es par, y que si es 1+2 (fila 1, columna 2) es impar. Supongo que como dices es cuestión de enfoque.

Si no recuerdo mal, en el libro también pone que en matrices de 4x4 el determinante siempre es el mismo aunque uses diferentes columnas o filas para calcular los adjuntos. Lo he probado con la matriz de 4x4 que estamos mirando, y el determinante me ha salido también 8. Ya tenemos tres ejemplos, el que has calculado tú, el que he calculado yo ahora, y el de la respuesta del ejercicio, que coge la segunda fila (porque es la que tiene más ceros y hay que calcular menos, ya que al multiplicar el valor 0 por el determinante adjunto se anula), y todos dan 8.

[will-o-the-wisp]

Sí, lo que he dicho de los signos en realidad solo se cumple si lo utilizas con la primera fila o la primera columna. En realidad, para el elemento (m,n) hay que ver si m+n es par (término positivo) o impar (término negativo). Ahí sí que me había colado por ir rápido :S

Exacto, muchas veces se suele coger una fila o columna que contenga ceros para facilitar los cálculos.

[Minerva]

Muchas gracias will'o

Ahora estoy calculando rangos, y de nuevo el libro deja mucho que desear en ese sentido. Es decir, una vez lo sé hacer y lo releo, lo entiendo, pero cuando he de aprenderlo no hay manera.

Por ejemplo, si tienes una matriz de 3x3:

2 5 -1
0 4 3
0 0 -1

Yo calculo el rango de la siguiente manera:

2 5
0 4 Det = 8 (por lo tanto, la matriz es al menos de rango 2). Si el determinante me hubiera dado 0, habría que seguir porque eso no significa que el resto de combinaciones sean 0.

Luego, calculo el determinante de la matriz entera, y es igual a -8. Por lo tanto, es de rango 3, pero no superior porque no hay más filas ni columnas.
Imagino que el hecho de que el determinante sea negativo o positivo no influye en el rango, ¿no? (en este caso es negativo).

No sé si tú lo haces de otra manera.

P.D.: menuda vidilla le estamos dando a este tema

[Eliseo09]

Cuando calcules inversas ten en cuenta que el método de gauss que has usado es el que se conoce como método de Gauss- Jordan. Lo digo porque tambien esta el metodo de eliminacion gaussiana.
Para sacar rangos de matrices, una manera facil es escalonar la matriz y el rango sera el numero de filas no nulas de la matriz escalonada.
. Animos con el estudio Miner!

[Minerva]

Muchas gracias Eliseo, de todas formas prefiero hacerlo tal y como me lo enseñan en el libro, no sea que lo haga mal por querer ir más avanzada .

Ahora estoy atascada en el método de Gauss-Jordan. Es decir, entiendo lo que hay que hacer, pero cuando es hora de sumar/restar/multiplicar/dividir, o lo que sea, me bloqueo. ¿Hay algún truco o simplemente se tienen que ir haciendo las operaciones "a ojo"?

[will-o-the-wisp]

Es un poco a ojo, la verdad. Sabes que tu objetivo al buscar la inversa es pasar de (A|Id) a (Id|A^-1) mediante transformaciones elementales. Antes de hacerlo, mira siempre que det(A) sea distinto de cero, porque si no, no hay inversa. Dame un ejercicio que no te salga y te lo pongo por el método de Gauss-Jordan paso a paso, a ver si te aclara las cosas ^^