Consultorio de Matemáticas (Bonus: Química y Física)

[Minerva]

Ahora que estoy repasando, me he vuelto a topar con este ejercicio:



Aunque está desarrollado en esta página por Will'o, me gustaría saber si se puede dividir directamente de la siguiente forma, ya que no termino de entender la factorización (Will'o multiplica por "-2" la factorización del numerador, y no termino de pillar el concepto):



Yo lo he intentado, pero me quedo a medio camino sin poder seguir cuando el grado del primer monomio del denominador es mayor que el del numerador :/

P.D.: no he visto que pongan sistemas con tantos parámetros en un examen, pero ya es un reto personal el llegar a entenderlo.

[will-o-the-wisp]

Dividiendo tal cual como dices te va a dar:
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Y no se puede seguir a menos que factoricemos. Por tanto, voy a explicar la factorización desde el principio y luego lo vamos a aplicar aquí.

Sea p(z) un polinomio de grado n (n>0):

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Donde los α_i son los coeficientes que acompañan a las z (pueden ser cero todos, excepto α_n, que es requisito que no sea nulo para que en el polinomio aparezca z^n y sea de grado n).

El teorema fundamental del álgebra dice esencialmente:

Todo polinomio de grado n tiene exactamente n raíces complejas.

Dicho de otro modo, si p(z) es un polinomio de grado n, entonces la ecuación p(z)=0 tiene exactamente n soluciones complejas.

Dos cosas:
- Estas raíces pueden no ser únicas. Por ejemplo, el polinomio x^2-4x+4 tiene como raíz doble x=2.
- No te asuste que diga que las raíces son complejas en vez de reales. Para lo que vamos a ver a partir de aquí, los dos conjuntos se usan de la misma forma. A partir de ahora utilizaré solamente polinomios reales, pero todo lo que voy a decir es aplicable también a polinomios con variable compleja.

Sigamos. Sea el polinomio real p(x) de grado n y sean x_1,x_2...,x_n sus raíces (es decir, las soluciones de p(x)=0), entonces p(x) se puede expresar como:

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Si te fijas, aparece suelto el coeficiente del término que marca el grado del polinomio. Cada factor que contiene x se denomina polinomio irreductible y son de grado uno. Vamos a hacer un ejemplo de segundo y otro de tercer grado:

Ejemplo 1.
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Por tanto,
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Ejemplo 2.
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Por tanto,
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Cuando dividimos números muy largos, es aconsejable ver si contienen factores comunes antes de realizar la división. Por ejemplo, si tuviéramos que dividir 8768782 entre 648764, comprobaríamos que ambos contienen el factor 2 y nuestra división sería entre números más pequeños (si no quisiéramos el resultado exacto, sino la fracción más simple, entonces habría que repetir esto hasta que no hubiera factores comunes).

A la hora de dividir polinomios ocurre lo mismo. Supongamos dos polinomios p(x) (de grado n) y q(x) (de grado m). p(x) tiene raíces y q(x) tiene raíces

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Para que los polinomios sean divisibles, al menos uno de estos factores tiene que ser común. Supongamos que comparten una raíz
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En este caso, simplificaríamos los (x-r). Si ambos polinomios compartieran más raíces, esto se repetiría hasta que ya no se pudiera simplificar más.

Esta es la teoría que voy a aplicar en el ejercicio, que voy a poner en otro post para que esté más organizado.

[will-o-the-wisp]

Voy a establecer un método general para la realización de este tipo de ejercicios con el que has puesto.

Sean dos polinomios de segundo grado p(x)=-2x^2+5x-2 y q(x)=-x^2+x+2, simplificar p(x)/q(x).

Paso 1. Expresaremos cada polinomio de forma que el coeficiente del término de mayor grado sea 1. Esto es para que no nos pasen cosas raras con el signo, que es lo que me ha pasado a mí tratando de resolverlo. Simplemente tienes que sacar el coeficiente fuera y dividir todo lo de dentro por el coeficiente.
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Paso 2. Calcularemos las raíces de cada polinomio. Sabemos que van a tener dos soluciones cada uno porque son de segundo grado.
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Paso 3. Expresaremos los polinomios como producto de polinomios irreducibles (factorización). Recuerda que hay que multiplicar el coeficiente del término de mayor grado y polinomios del tipo (x-raíz).
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Paso 4. Dividimos y simplificamos los factores comunes.
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[Windrall]

Hola Will de nuevo.
En esta ocasión presento la siguiente duda.
Según la función continua F:R - > R

I x+ K , si x <|= 0
I
I
F(x) = I
I
I e^x^2 -1/ x^2 , si x > 0
I


Calcula valor de K??

[Godah]

Muchas gracias Will por tus explicaciones, haces que recupere el tiempo perdido en mis clases de matemáticas. A mí me asalta una duda ahora mismo: cuando se necesita factorizar un polinomio con un número entero muy elevado (me refiero al número sin X, vaya) como 30, hay muchos divisores que emplear para la regla de Ruffini. ¿Hay algún método para acortar este paso y saber qué divisores nos pueden servir? Es que si no hay que empezar por 1, -1, 2, -2 y se hace largo...

[will-o-the-wisp]

Windrall

Tenemos una función definida a trozos:
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Y además, muy importante, nos dicen que es continua. Vamos a analizar su continuidad en su dominio de definición (todos los números reales).

Para x menor o igual que 0, tenemos F(x)=x+K. Esta función es una recta y es continua.

Para x mayor que 0, tenemos la otra expresión, que es continua donde nos interesa (x>0).

¿Qué pasa en x=0? Pues es donde se juntan las dos partes, pero como además sabemos que es continua, la función debe valer lo mismo aplicando una definición u otra. Es decir, tanto si vamos por la izquierda como si vamos por la derecha, la función debe valer lo mismo.

Vamos por la izquierda. Como 0 está incluido en el dominio de la primera definición, simplemente tenemos que evaluar x+K en x=0.

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Ahora vamos por la derecha. El 0 no está incluido en la segunda definición (y además, si lo estuviera, estaríamos dividiendo entre cero), por tanto hay que aplicar el límite por la derecha:

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El método más simple que se me ocurre para resolverlo es la regla de L'Hôpital. Espero que hayas dado derivadas, porque si no va a ser complicado de entender.
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En este caso:
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Como tiene que dar lo mismo por la izquierda que por la derecha:

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Entonces
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es una función continua.

Godah

Pues me has pillado, porque nunca me han enseñado bien Ruffini y es un método que odio a muerte. Si el divisor es del tipo (x-a), entonces hay que hacer Ruffini con el número a. El problema está en que como se suele utilizar para buscar raíces, ya tienes que tener una idea de cuáles pueden ser. Si no, toca ir probando entre los divisores del término independiente (en lo que dices, los divisores de 30, positivos y negativos).

[Minerva]

Espectacular Will'o, muchas gracias por tus dos posts.

He podido dar por terminado el ejercicio, porque ya era algo personal.

Respecto a los signos del coeficiente del monomio de mayor grado en la ecuación, siempre cometo errores por querer ir demasiado deprisa. Cuando tengo que calcular determinantes de matrices de 4x4 es un festival, siempre fallo en algún resultado por eso. Tengo claro que el día que haga este examen voy a poner las operaciones paso por paso, aunque tenga que rellenar 10 folios

[will-o-the-wisp]

Tengo claro que el día que haga este examen voy a poner las operaciones paso por paso, aunque tenga que rellenar 10 folios

Eso es lo mejor. Además, si te equivocas en una cuenta pero lo haces detalladamente, el profesor puede ver que ibas bien encaminada porque sabías cómo se hacía, que al final es lo que importa.

[Godah]

Hola de nuevo, tengo más dudas para que los expertos me las puedan resolver... Son, como siempre, dudas tontas que no se explicitan en las páginas web que miro.

Trigonometría:

Cuando se nos dan los valores de un triángulo rectángulo, de entrada sabemos que el ángulo A es el ángulo recto (90º) y que por ende el lado inverso será a, la hipotenusa. Hasta aquí bien. El problema es que suelo liarme en el momento de asignar los catetos. Por ejemplo:

De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m. Resolver el triángulo.



Y así es como queda el triángulo representado. ¿Cómo sé yo que el lado b es el cateto más pequeño y c el más largo? ¿Por qué no puede ser a la inversa? Conozco bien los pasos a seguir para sacar los ángulos, el problema es la duda inicial. :S

Funciones

En el momento de buscar las asíntotas verticales y horizontales de una función racional, hay algo que se me escapa:


Representación gráfica de la función:


Buscamos dominio, sustituimos la x por el valor que queda fuera del dominio para buscar la asíntota vertical, de acuerdo. Pero no entiendo el paso que hacen de los límites laterales, mi brillante entendimiento no logra asimilarlo.

[will-o-the-wisp]

Trigonometría

Da igual qué cateto sea cual. En el dibujo ponen b ahí, pero si a la hora de hacer los cálculos saliera que c<b, entonces habría que dibujarlo al revés. Los dibujos sirven para hacerse una idea, pero lo que nos dice la verdad es el teorema de Pitágoras (a^2=b^2+c^2 queda igual si cambias b y c).

Funciones

El límite lateral implica tomar el punto al que tiende x sumando y restando una cantidad pequeñísima.

En este caso, 1- es 0,9999999...9 y 1+ es 1,000000...01 (no 1,1 como sale ahí). En realidad ambos números son iguales a 1 (entre dos números reales siempre tiene que haber otro en medio, y si no lo hay es que son el mismo), pero es una forma de hacernos a la idea de qué es lo que pasa a cada lado de ese punto.

En el límite por la izquierda, el numerador es obviamente positivo (suma de dos números positivos), pero el denominador es negativo (1- es menor que 1), aunque también es 0 (en realidad el denominador es 0-) por lo que el resultado va a ser una cantidad infinita, pero negativa (más entre menos es menos).

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Hay que notar que 1- es un número positivo, solo que es un poquito más pequeño que 1. En cambio, 0- es negativo, porque en cuanto es un poco más pequeño que 0 ya está al otro lado de la recta real (y 0+ es positivo).

En el límite por la derecha, el numerador es obviamente positivo y el denominador también lo es porque 1+ es mayor que 1 (aunque la resta sigue siendo 0, en realidad 0+), así que el resultado será un infinito positivo.

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Si la función vale menos infinito por un lado y más infinito por otro, en el medio hay una discontinuidad de salto infinito.