Consultorio de Matemáticas (Bonus: Química y Física)

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Consultorio de Matemáticas (Bonus: Química y Física)

Mensaje por will-o-the-wisp » 29 Ene 2012, 13:01

¿Tienes curiosidad por algo que te contaron sobre Matemáticas? ¿Siempre te has preguntado por qué no se puede dividir por cero? ¿Para qué sirven los números complejos si no son "reales"? ¿Hay algo a lo que deberías haber prestado atención en clase y ahora lo necesitas? ¿No te sale un ejercicio?

Cuando era adolescente hubiera echado en falta un tema así (e incluso ahora, pero no sé exactamente qué nivel tiene la gente en este foro), bien para satisfacer mi curiosidad o bien para entender algo que debería haber sabido. Por ello, ofrezco mi ayuda, mis conocimientos y mi intención de hacerlo fácil a todo aquel que lo necesite.

Dado que estoy en segundo curso del Grado en Física, en general puedo responder dudas de Matemáticas desde nivel parbulitos hasta primero de cualquier carrera universitaria, con dos excepciones: Estadística (que la voy a ver este cuatrimestre) y Topología (que solo se da en la carrera de Matemáticas).

También puedo responder dudas de Química hasta el nivel de segundo de Bachillerato (aunque puede que lo tenga un poco olvidado) y de Física general (nivel primero de carrera).

Me llevaría una alegría si alguien de verdad tiene curiosidad por algo de esto, así que aprovechad : D

* ¿Por qué no abarco más de Física si es eso lo que estoy estudiando? Bueno, las dudas pueden ser más variadas y pueden escaparse más fácilmente a mi nivel, aunque podéis probar.

Pappapishu
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Re: Consultorio de Matemáticas (Bonus: Química y Física)

Mensaje por Pappapishu » 29 Ene 2012, 13:12

Me parece perfecto, esta misma semana estuve discutiendo con un compañero de trabajo que estudió físicas sobre el experimento del tren que se mueve a la velocidad de la luz y que sirve para «demostrar» (en mi opinión parte de un error de concepto bastante gordo) que a la velocidad de la luz el paso del tiempo es distinto que a la velocidad normal.


El supuesto experimento es el siguiente:

Un hombre va en un tren que avanza a la velocidad de la luz donde hay un rayo de luz en el suelo apuntando al techo donde hay un espejo....por tanto en un tiempo X recorre una distancia 2Y (distancia del suelo al techo)

Para un observador exterior, en el mismo tiempo el haz de luz recorre mayor distancia ya que su trayectoria no es perpendicular al suelo si no que forma una especie de pirámide. Esto dicen que demuestra que el tiempo ha pasado de distinta forma dentro y fuera del tren ya que en el mismo tiempo ha recorrido más distancia.

Yo desacredito este experimento con el simple hecho de que, aunque la velocidad de la luz vertical sea constante, habría que añadirle la velocidad de la luz del tren, por lo que al final la velocidad total en la que la onda avanza diagonalmente es superior a la velocidad de la luz, por tanto no es el tiempo el que avance distinto si no que la onda va a velocidad superior a la de la luz para un observador externo.

¿Cuál es tu postura al respecto?
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Black Flare
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Re: Consultorio de Matemáticas (Bonus: Química y Física)

Mensaje por Black Flare » 29 Ene 2012, 13:48

Para los que saben de este tema, la velocidad es un vector y como tal depende del eje de referencia que tomes para "calcularla". Aún yendo el tren a la velocidad de la luz, para cualquier elemento dentro de este es como si no se desplazara (Esto es lo que evita que estando en cualquier vehículo te estrelles con la parte trasera xD), por lo que la velocidad de un objeto cualquiera dentro sería de la que se le impusiera, en el caso del rayo de luz sería el de la misma velocidad de la luz, ni más ni menos.

Ahora bien, para el observador de fuera ve como el tren se ha desplazado el tren a esa velocidad y dentro el rayo de luz ha descrito una trayectoria de vaivén entre el suelo y el techo, creando el efecto de pirámide que nombras haciendo que el desplazamiento de este parezca mayor que el recorrido del tren, lo que forzosamente habría hecho que viajara más rápido que la luz. Esto es un problema de perspectiva y de la relatividad de la velocidad de la luz, en este caso la "velocidad" que cree el observador que tiene el rayo es superior en un x% al seguir la trayectoria de pirámide, y que sería el de la velocidad en el eje X por el tren y en el Y por el movimiento vertical (Esto quedaría mejor si especificaras la altura del tren como de 1/2 de la velocidad de la luz xD).

En cualquier caso, la solución está en que se ha desplazado ese rayo de luz a una velocidad superior a la de la misma luz (Para un eje de referencia dado), mientras que para otro ha ido a esa misma velocidad sin superarla (Dentro del tren). Si te paras a pensar, y te lo dejo como reflexión Papp, si ahora mismo tienes una linterna y la enciendes, esa luz que está emitiendo viaja más rápido que la luz ¿Por qué?, es muy fácil de entender con lo explicado más arriba, la tierra se desplaza, el sistema solar se desplaza, la vía láctea se desplaza, lo que quiere decir que para un observador que se encuentre fuera de la vía láctea, la luz emitida por tu linterna ha viajado más rápido que la luz (Suma de todas las velocidades existentes en el proceso), debido al eje de referencia. Todo es relativo según el punto de vista xD.

Con referente al tema del hilo: Me parece interesante, y para la gente que lo necesite puede serle útil (A mi no xD, tu estás en segundo de física pero yo estoy en quinto de ingeniería informática, y creeme me he empapado bastante de matemáticas jaja). Si fuera necesario podría echar un vistazo a este tema de vez en cuando para ayudar.

Un saludo.
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Re: Consultorio de Matemáticas (Bonus: Química y Física)

Mensaje por will-o-the-wisp » 29 Ene 2012, 14:46

Esto se escapa un poco a mi nivel, ya que todavía no he dado Relatividad, pero tengo algo de idea de sistemas de referencia y de los principios de Relatividad Especial.

Vuestro planteamiento es incorrecto, aunque hay que creerse un hecho fundamental para esto:

La velocidad de la luz es igual para cualquier sistema de referencia.


Esto es un hecho comprobado experimentalmente, de donde sale toda la Teoría de la Relatividad Especial y General, y no os lo puedo demostrar en un post de un foro :_

Voy a intentar aclarar la confusión. El sentido común suma velocidades del modo en que lo hace la Mecánica Clásica. Por ejemplo:

Un vagón viaja a velocidad v por las vías y en su interior camina un hombre en dirección de la marcha a velocidad w. La velocidad W a la que viaja el hombre respecto de la vía es W=v+w


Esto es incompatible con el hecho de que la velocidad de la luz sea c [para cualquier sistema de referencia[/s]. La velocidad de la luz no depende de la velocidad del emisor, sino que siempre es c para cualquier observador. (Esta velocidad de la luz se entiende que es en el vacío. En medios materiales es aparentemente menor, pero observando microscópicamente, los retardos se deben a que la trayectoria en el espacio entre los átomos no es rectilínea, pero sí ocurre a velocidad c).

Aplicando el razonamiento anterior a la luz, tendríamos lo siguiente:

Supongamos que ahora el hombre de dentro del vagón, quieto en su interior, desprende un rayo de luz con una linterna, que sale con velocidad c. El vagón sigue moviéndose a velocidad v respecto de la vía. La velocidad W de la luz respecto de la vía sería W=c+v


Esto indicaría que un observador situado en la vía percibiría que la luz va a una velocidad mayor que c, y eso no es posible.

Este razonamiento de suma de velocidades a pelo se deriva de las llamadas transformaciones de Galileo, que es algo tan simple como que si un móvil se mueve a velocidad v en un punto x respecto de un punto x', entonces su posición respecto de ese punto será x'=x+vt. Es decir, la distancia entre los puntos es la velocidad por el tiempo.

Esto viene de dos consideraciones erróneas:
i) El intervalo temporal entre dos sucesos es independiente del estado de movimiento del cuerpo de referencia.
ii) El intervalo espacial entre dos puntos de un cuerpo rígido es independiente del estado de movimiento del cuerpo de referencia.

Sin embargo, suelen funcionar porque en nuestro día a día nos movemos a velocidades muy inferiores a las de la luz.

Ahora me voy a saltar un razonamiento no muy complicado, pero sí largo, para establecer las transformaciones de Lorentz.

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Además ocurre otra cosa importante:

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Si probáis a sustituir x=ct en cualquiera de las dos fórmulas, comprobaréis que x'=ct', es decir, la luz se mueve a velocidad c sea cual sea su sistema de referencia. No es de extrañar, porque las ecuaciones de Lorentz se crearon para que ocurriera eso. Para v mucho menor que c, quedaría que x'=x+vt y t'=t, como en las transformaciones de Galileo.

En general, de estas ecuaciones se verifica que para un objeto con extremos x y x', la distancia entre ellos se acortaría conforme aumenta su velocidad. Ocurre lo mismo con la percepción del tiempo de dos relojes a velocidades diferentes. Estas ecuaciones pierden su sentido cuando v>c, por lo que se establece como límite para cualquier velocidad de un cuerpo real. Si v=c, encontraríamos cosas como que el objeto que se moviera a velocidad de la luz no ocuparía lugar en el espacio y que además no notaría el paso del tiempo. Aún así, utilizar la propia luz como sistema de referencia es algo en lo que no he profundizado y que probablemente no es posible.

Me da pena, porque parece todo un poco salido de la nada, pero es que no es algo que haya estudiado con profundidad todavía.

Habréis oído que hace unos meses se hizo un experimento en el cual se determinaba que unas partículas llamadas neutrinos viajaban más rápido que la luz. Ahí influyen muchas cosas de Física Cuántica que aún no sé, pero al parecer no está prohibido que un objeto siempre se mueva a una velocidad superior a la de la luz si no baja de ese valor. Es decir, es como si c fuera un valor que no se puede traspasar, pero sí se puede estar a uno o al otro lado. Este párrafo es pura especulación, pero es todo lo que puedo decir.

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Re: Consultorio de Matemáticas (Bonus: Química y Física)

Mensaje por Pappapishu » 29 Ene 2012, 15:08

will-o-the-wisp escribió:Si v=c, encontraríamos cosas como que el objeto que se moviera a velocidad de la luz no ocuparía lugar en el espacio y que además no notaría el paso del tiempo. Aún así, utilizar la propia luz como sistema de referencia es algo en lo que no he profundizado y que probablemente no es posible.



En realidad luego hay otra fórmula, la de la masa relativa que tiene el mismo denominador. Ésta fórmula dice que a mayor velocidad, mayor es la masa relativa de un objeto y que, como consecuencia, hace falta una mayor fuerza/energía para acelerarlo más o para mantener la verlocidad. La fórmula, como he dicho tiene el mismo denominador:

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Es triste pero es la única imagen de la fórmula que encontré en Google xD


Como se ve, si v = c entonces v/c = 1 y el denominador queda 1-1 = 0. Un denominador a 0 haría que la masa relativa del objeto fuera infinita mientras se mueve a la velocidad de la luz. Mediante la fórmula de la fuerza F = m·a haría falta una fuerza infinita para mover este objeto a esta velocidad.

Por tanto, ningún objeto con masa se puede mover a la velocidad de la luz (la propia luz es una onda por lo que si puede).

Esta es la fórmula que realmente causó todo el caos con el tema de los neutrinos pues estos tienen masa, aún siendo despreciable, y si se hubieran movido a esas velocidades se cargarían todas las fórmulas de la teoría de la relatividad.
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Re: Consultorio de Matemáticas (Bonus: Química y Física)

Mensaje por will-o-the-wisp » 29 Ene 2012, 15:24

La fórmula F=ma no funciona en la mecánica relativista, pero hay una parecida. El asunto es más o menos lo que comentas, pero refiriéndose a que haría falta transmitir una energía infinita para que algo alcanzara la velocidad de la luz.

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Re: Consultorio de Matemáticas (Bonus: Química y Física)

Mensaje por Black Flare » 29 Ene 2012, 15:36

A lo que yo me estaba refiriendo precisamente es a eso que comentas Willo, si sumaras la velocidad del planeta + sistema solar + via lactea + luz de la linterna, te saldría la suma que comentas y así el rayo de luz ha viajado más rápido que la misma luz. Pero si me has leído por completo, verás que comenté que la luz que se emite dentro del sistema en movimiento viaja a la velocidad de la luz y no más rápido. Ya que lo que digo de que ve como ha viajado más rápido de la luz es un tema perceptivo y no real.

Cuando se hace razonamientos de este tipo hay que pararse a pensar que todos estos pensamientos son frutos y producciones de la mente humana, el tiempo, la velocidad... y más aplicados a elementos que nos son tan sumamente extraños que es imposible de diferenciar la percepción que tenemos sobre ello y cuál es la "realidad aplicada en el hecho".

Comento por eso que es relativo desde el punto de vista en el que se observe, la realidad en el hecho sería que el rayo de luz viaja más rápido que la luz aunque el observador con un diferente punto de vista si lo contemple así.

Perdón si me explico sólo con palabras xD, la verdad es que la explicación más "matemática" sería la que has explicado y no me voy a poner a repetir lo mismo, aunque espero que se entienda a que me refiero con esto.

Superando la velocidad de la luz, un cuerpo con masa no cumpliría la ecuación que pones Papp, aunque no tiene porque ser del todo exacta de forma aplicada. Con una velocidad mayor de la luz la raíz quedaría negativa (Números complejos xD), y ya la masa no sería infinita. Hay quién tiene muchas teorías acerca de este hecho y las he escuchado muy variadas, tanto como para tirarme aquí horas sin terminar de contarlas todas. Hechos como que para la luz no pasa el tiempo y algo más rápido que ella viajaría atrás en el tiempo.

Son preguntas que nunca o difícilmente se va a encontrar solución, como una cuestión que os planteo, si consiguiéramos viajar atrás en el tiempo, con la premia de que no existe nada infinito ¿Podríamos llegar a un momento en el que no pudiéramos retroceder más en el tiempo?, esto podría ir enlazado con la creación del mismo universo y con la "luz" que se emitiría en el comienzo de todo, ya que si la expansión de la materia fuera más lenta que la velocidad de dicha luz ¿Acaso existiría luz en la nada, fuera de las fronteras del universo?

Creo que el tema debería ir por algo que se pudiera comprender mejor, y tener respuestas más concretas xD, creo que cualquier cosa que digamos aquí por muy dispar que fuera sería incorrecta.
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Re: Consultorio de Matemáticas (Bonus: Química y Física)

Mensaje por Sinh » 29 Ene 2012, 16:00

Me encanta esta iniciativa. Sería interesante que otros tomáramos su ejemplo y abriéramos consultorios similares sobre nuestros respectivos campos de conocimiento xD

Yo no entraré en la discusión sobre la velocidad de la luz, aunque sí puedo decir que siempre me ha interesado mucho y que me he leído todos los posts de arriba a abajo. En su lugar me gustaría preguntarte sobre la proporción áurea, ese numerito que a los biólogos se nos aparece con relativa frecuencia mientras estudiamos la carrera, ya sea en conchas o en distribuciones de ramas y hojas. Tengo interés en saber más sobre el origen matemático del número, su importancia matemática (si es que la tiene) y cualquier curiosidad que sepas o puedas averiguar al respecto.
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Re: Consultorio de Matemáticas (Bonus: Química y Física)

Mensaje por Pappapishu » 29 Ene 2012, 16:02

Sinh escribió:Me encanta esta iniciativa. Sería interesante que otros tomáramos su ejemplo y abriéramos consultorios similares sobre nuestros respectivos campos de conocimiento xD

Yo no entraré en la discusión sobre la velocidad de la luz, aunque sí puedo decir que siempre me ha interesado mucho y que me he leído todos los posts de arriba a abajo. En su lugar me gustaría preguntarte sobre la proporción áurea, ese numerito que a los biólogos se nos aparece con relativa frecuencia mientras estudiamos la carrera, ya sea en conchas o en distribuciones de ramas y hojas. Tengo interés en saber más sobre el origen matemático del número, su importancia matemática (si es que la tiene) y cualquier curiosidad que sepas o puedas averiguar al respecto.


La Divina Proporción!

Durante un tiempo estuve fascinado con ella y la estuve investigando un montón, incluso creé un blog llamado Divina Proporción para contar mi vida....pero no le pisaré la manguera al creador del tema y le dejaré a él explicarlo que además sabrá más que yo del tema!
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Re: Consultorio de Matemáticas (Bonus: Química y Física)

Mensaje por will-o-the-wisp » 29 Ene 2012, 18:03

Black Flare, el problema que he tenido con tu post es que he entendido "percepción" como eso, lo que percibe un observador, no como "entendimiento". El observador, sea un humano o un radar, percibe que la velocidad es c, aunque razone de modo erróneo que debería ser otra cantidad.

Por cierto, para no tener el mismo problema que Pappapishu anteriormente, podéis escribir ecuaciones aquí y ponerlas como una imagen.

La proporción áurea se define como la relación entre dos segmentos a y b que cumplen que la relación entre a+b al segmento más grande es como la del segmento más grande al más pequeño, es decir:

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Sustituyendo b/a por el inverso de φ obtenemos una ecuación de segundo grado, cuya única solución positiva es el número φ=a/b tal que:

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Si os estáis preguntando cuáles son esos números a y b, lo que os puedo decir es que no son números enteros. Hay una demostración de que φ es un número irracional (es decir, que no puede expresarse como división de dos enteros), pero no creo que sea necesaria ponerla para hablar de esto.

Hay muchísimos estudios sobre este número, pero su importancia matemática es más una curiosidad que otra cosa. Es cierto que aparece muchas veces en la naturaleza e incluso en el arte, pues de algún modo está relacionada con la estética. De hecho, esa fue la motivación de su planteamiento. En cuanto a lo puramente matemático, aparece también en figuras geométricas con simetría pentagonal, pues la longitud de la diagonal de un pentágono es φ veces su lado, y también es el parámetro que determina la figura conocida como espiral de Fibonacci; pero al margen de cosas puntuales en la geometría, no tiene mucha importancia en las matemáticas.

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Espiral de Fibonacci.


El hecho de por qué está presente esa relación en la naturaleza es un tema de estudio, pero tengo entendido que no se ha llegado a encontrar una razón para ello. Que esté presente en el arte es probablemente consecuencia de esto.

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